2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 실전 모의고사 4회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

제시문 <나>의 성질 \({}_nC_k + {}_nC_{k+1} = {}_{n+1}C_{k+1}\)을 반복 적용한다:

\[{}_{3n+3}C_{3k} = {}_{3n+2}C_{3k-1} + {}_{3n+2}C_{3k}\]

각 항에 성질을 다시 적용하면:

\[{}_{3n+2}C_{3k-1} = {}_{3n+1}C_{3k-2} + {}_{3n+1}C_{3k-1}, \quad {}_{3n+2}C_{3k} = {}_{3n+1}C_{3k-1} + {}_{3n+1}C_{3k}\]

\[\implies {}_{3n+3}C_{3k} = {}_{3n+1}C_{3k-2} + 2 \times {}_{3n+1}C_{3k-1} + {}_{3n+1}C_{3k}\]

한 번 더 성질을 적용하면:

\[{}_{3n+1}C_{3k-2} = {}_{3n}C_{3k-3} + {}_{3n}C_{3k-2}\]

\[2 \times {}_{3n+1}C_{3k-1} = 2({}_{3n}C_{3k-2} + {}_{3n}C_{3k-1})\]

\[{}_{3n+1}C_{3k} = {}_{3n}C_{3k-1} + {}_{3n}C_{3k}\]

따라서 동류항을 합산하면 원하는 관계식을 얻는다:

\[{}_{3n+3}C_{3k} = {}_{3n}C_{3k-3} + 3 \times {}_{3n}C_{3k-2} + 3 \times {}_{3n}C_{3k-1} + {}_{3n}C_{3k} \quad [\text{증명 완료}]\]

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

[문항 1-1]의 결과를 이용하여 \(a_{n+1} + a_n\)을 정리하면:

\[a_{n+1} + a_n = 2 + \sum_{k=1}^n {}_{3n+3}C_{3k} + \sum_{k=0}^n {}_{3n}C_{3k}\]

\[= 2 + \sum_{k=1}^n ({}_{3n}C_{3k-3} + 3 \cdot {}_{3n}C_{3k-2} + 3 \cdot {}_{3n}C_{3k-1} + {}_{3n}C_{3k}) + \sum_{k=0}^n {}_{3n}C_{3k}\]

\({}_{3n}C_0 = {}_{3n}C_{3n} = 1\)이므로 \(2 = {}_{3n}C_0 + {}_{3n}C_{3n}\)이다. 합 기호 내의 항들을 전개하여 각 지수별로 묶어 정리하면, 모든 항 \({}_{3n}C_j\) (\(0 \le j \le 3n\))의 계수가 정확히 \(3\)이 된다:

\[a_{n+1} + a_n = 3 \sum_{j=0}^{3n} {}_{3n}C_j\]

이항정리에 의해 \(\sum_{j=0}^{3n} {}_{3n}C_j = (1+1)^{3n} = 2^{3n}\)이므로

\[a_{n+1} + a_n = 3 \times 2^{3n} \quad [\text{증명 완료}]\]

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 4회 - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(a_n + a_{n+1} = 3 \times 8^n\)이므로 교대합을 취하면 다음과 같다:

\[a_1 + a_{100} = (a_1 + a_2) - (a_2 + a_3) + \cdots - (a_{98} + a_{99}) + (a_{99} + a_{100}) = \sum_{k=1}^{99} (-1)^{k+1}(3 \times 8^k)\]

첫째항이 \(24\), 공비가 \(-8\)인 등비수열의 합이므로:

\[a_1 + a_{100} = \frac{24(1 - (-8)^{99})}{1 - (-8)} = \frac{24(8^{99}+1)}{9} = \frac{8(8^{99}+1)}{3}\]

\(a_1 = {}_3C_0 + {}_3C_3 = 2\)이므로 \(a_{100} = \frac{8(8^{99}+1)}{3} - 2 = \frac{8^{100} + 2}{3}\)이다.

이항계수의 대칭성에 의해 \(\sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1} = \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-2}\)이다. 또한

\[\sum_{j=0}^{300} {}_{300}C_j = 2^{300} = 8^{100} = a_{100} + \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1} + \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-2} = a_{100} + 2 \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1}\]

\[\implies 2 \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1} = 8^{100} - \frac{8^{100}+2}{3} = \frac{2(8^{100}-1)}{3} \implies \sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1} = \mathbf{\frac{8^{100}-1}{3}}\]

답: \(\frac{8^{100}-1}{3}\)

[문제 1] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
1-1	이항계수의 덧셈 성질을 반복 적용하여 좌변으로부터 우변을 단계별로 명료하게 증명하였는가?	20점
1-2	[문항 1-1]의 식을 대입하여 합 기호를 각 항별 계수 \(3\)으로 정확히 묶어내었는가?	20점
1-2	이항계수의 총합 공식 \(\sum {}_{3n}C_j = 2^{3n}\)을 적용하여 \(a_{n+1}+a_n = 3 \times 2^{3n}\)을 보였는가?	20점
1-3	등비수열의 합 공식을 적용하여 \(a_{100} = \frac{8^{100}+2}{3}\)를 정확히 계산하였는가?	20점
1-3	이항계수의 대칭성을 활용하여 \(\sum_{k=1}^{100} {}_{300}C_{3k-1} = \frac{8^{100}-1}{3}\)을 올바르게 구하였는가?	20점

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 (1/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

\(f(x) = \frac{\ln(x+\alpha)}{x+\alpha}\)의 도함수는 \(f'(x) = \frac{1 - \ln(x+\alpha)}{(x+\alpha)^2}\)이다.

\(f'(x) = 0 \implies \ln(x+\alpha) = 1 \implies x = e - \alpha\)에서 극댓값이자 최댓값 \(f(e-\alpha) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.

\(\lim_{x \to -\alpha^+} f(x) = -\infty, \lim_{x \to \infty} f(x) = 0\)이므로, \(y=f(x)\)의 그래프는 \(x=e-\alpha\)에서 극댓값 \(\frac{1}{e}\)을 갖고 \(x \to \infty\)일 때 \(0\)에 점근한다.

\((f \circ f)(x) = \frac{1}{e}\)에서, 함수 \(f(t) = \frac{1}{e}\)을 만족하는 \(t\)는 유일한 최댓값 위치인 \(t = e - \alpha\)뿐이다. 따라서 방정식은 \(f(x) = e - \alpha\)가 된다.

\(f(x) = e - \alpha\)가 서로 다른 두 실근을 가지려면 상수 \(e - \alpha\)가 극댓값과 점근선 사이인 \(0 < e - \alpha < \frac{1}{e}\)에 있어야 한다. 따라서

\[0 < e - \alpha < \frac{1}{e} \implies \mathbf{e - \frac{1}{e} < \alpha < e}\]

답: \(e - \frac{1}{e} < \alpha < e\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(f'(-1) = a > 0, f'(1) = -b < 0\) (\(b > 0\))라 하면 주어진 조건에서 \(a - (-b) = a + b = 23\)이다.

곡선 위의 점 \(A(-1, 0), B(1, 0)\)에서의 접선의 방정식은 각각 \(y = a(x+1), y = -b(x-1)\)이다.

두 직선을 연립하면 교점 \(P\)의 좌표는 \(\left(\frac{b-a}{a+b}, \frac{2ab}{a+b}\right)\)이다. \(\triangle APB\)의 밑변은 \(\overline{AB}=2\)이므로 넓이 \(S\)는

\[S = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}\]

두 접선이 \(x\)축과 이루는 예각을 각각 \(\alpha, \beta\)라 하면 \(a = \tan\alpha, b = \tan\beta\)이다. \(\theta = \angle APB\)라 하면 \(\theta = \pi - (\alpha + \beta)\)이므로

\[\tan\theta = -\tan(\alpha+\beta) = -\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{a+b}{ab-1}\]

따라서 \(\cot\theta = \frac{ab-1}{a+b} = \frac{ab}{a+b} - \frac{1}{a+b} = \frac{S}{2} - \frac{1}{23}\)이다.

답: \(\cot(\angle APB) = \frac{S}{2} - \frac{1}{23}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 4회 - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)

2027학년도 실전 모의고사 4회 [2023학년도 기출유형] 정답 및 해설

▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

높이가 \(1\)인 정삼각형 \(ABC\)의 한 변의 길이는 \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)이다. 변 \(BC\)를 \(x\)축, 꼭짓점 \(A\)를 \((0, 1)\)로 두면 직선 \(AB, AC\)의 방정식은 각각 \(y = \sqrt{3}x + 1, y = -\sqrt{3}x + 1\)이다.

평행이동한 원의 방정식은 \((x-t)^2 + (y-1)^2 = 1\)이다. 원과 두 직선 \(AB, AC\)의 교점을 각각 \(P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)\)라 하면, \((x-t)^2 + (\pm\sqrt{3}x)^2 = 1 \implies 4x^2 - 2tx + t^2 - 1 = 0\)의 두 근이다:

\[x_1 = \frac{t - \sqrt{4-3t^2}}{4}, \quad x_2 = \frac{t + \sqrt{4-3t^2}}{4}\]

선분 \(PQ\)의 길이를 계산하면 다음과 같다:

\[\overline{PQ} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{4-3t^2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{4-3t^2+3t^2}{4}} = 1\]

현 \(PQ\)의 길이가 반지름 \(1\)과 같은 상수이므로, 호 \(PQ\)와 현 \(PQ\) 사이 영역의 넓이는 \(t\)와 관계없이 항상 상수 \(C\)로 일정하다.

\(\triangle APQ\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\overline{AP}\cdot\overline{AQ}\sin(\angle PAQ) = \frac{\sqrt{3}}{4}\overline{AP}\cdot\overline{AQ}\)이다. 이때 \(\overline{AP} = 2|x_1| = \frac{\sqrt{4-3t^2}-t}{2}, \overline{AQ} = 2|x_2| = \frac{\sqrt{4-3t^2}+t}{2}\)이므로

\[\overline{AP}\cdot\overline{AQ} = \frac{(4-3t^2) - t^2}{4} = 1 - t^2\]

따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 \(f(t) = \frac{\sqrt{3}}{4}(1-t^2) + C\)이다. 양변을 \(t\)에 대해 미분하면 다음과 같다:

\[f'(t) = \mathbf{-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\]

답: \(f'(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}t\)

[문제 2] 채점 기준표

하위 문항	세부 평가 요소 및 채점 기준	배점
2-1	도함수를 통해 \(f(x)\)의 개형과 최댓값 \(e^{-1}\)을 정확히 파악하였는가?	20점
2-1	합성함수 방정식의 근의 조건을 분석하여 \(e - \frac{1}{e} < \alpha < e\)를 구하였는가?	10점
2-2	두 접선의 교점 좌표를 구하고 삼각형의 넓이 \(S = \frac{2ab}{a+b}\)를 유도하였는가?	20점
2-2	삼각함수의 덧셈정리를 적용하여 \(\cot(\angle APB) = \frac{S}{2} - \frac{1}{23}\)을 도출하였는가?	10점
2-3	원과 두 직선의 교점을 연립방정식을 통해 정확하게 구하였는가?	20점
2-3	현 \(PQ\)의 길이가 일정함을 밝히고 \(\triangle APQ\)의 넓이로부터 \(f'(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}t\)를 구했는가?	20점